\chapter{欧拉(1750)对弦振动方程解的推导研究}

	\begin{abstract}
		本文详细分析了莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1750年对一维弦振动方程解的经典推导过程。通过考察欧拉原始论文《De motu vibratorio tympanorum》中的数学处理，我们重构了其从波动方程建立到分离变量法求解的完整思路，特别关注了其引入的正弦级数表示法。研究表明，欧拉的推导不仅早于达朗贝尔更著名的解，而且建立了将偏微分方程转化为常微分方程系统的重要范式，为后来的数学物理方法奠定了基础。
			\end{abstract}
	
	\section{引言}
	18世纪中期，关于振动弦的数学描述是数学物理学的核心问题之一。继1746年达朗贝尔首次发表波动方程的解后，欧拉于1750年在论文《De motu vibratorio tympanorum》中提出了更具普遍性的解法\cite{Euler1750}。本文旨在用现代数学语言重新表述欧拉的推导过程。
	
	\section{波动方程的建立}
	欧拉从一维均匀弦的力学模型出发，考虑微小横振动情形。设：
	
	\begin{itemize}
		\item 弦线密度 $\rho$ 为常数
		\item 张力 $T$ 保持恒定
		\item 位移函数 $u(x,t)$ 表示位置 $x$ 处在时刻 $t$ 的垂直位移
	\end{itemize}
	
	通过受力分析，欧拉得到：
	
	\begin{equation}
		\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
		\label{eq:wave}
	\end{equation}
	
	其中 $c = \sqrt{T/\rho}$ 为波速。这与现代波动方程完全一致。
	
	\section{欧拉的求解方法}
	\subsection{分离变量假设}
	欧拉假设解具有变量分离形式：
	
	\begin{equation}
		u(x,t) = X(x)T(t)
		\label{eq:sepvar}
	\end{equation}
	
	将(\ref{eq:sepvar})代入方程(\ref{eq:wave})得：
	
	\begin{equation}
		X(x)T''(t) = c^2 X''(x)T(t)
	\end{equation}
	
	整理得到：
	
	\begin{equation}
		\frac{T''(t)}{c^2 T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda
		\label{eq:separated}
	\end{equation}
	
	这里欧拉首次系统性地使用了分离常数技巧。
	
	\subsection{空间方程求解}
	对于空间部分：
	
	\begin{equation}
		X''(x) + \lambda X(x) = 0
	\end{equation}
	
	考虑两端固定的弦，边界条件为：
	
	\begin{equation}
		X(0) = X(L) = 0
	\end{equation}
	
	欧拉得到本征值问题解：
	
	\begin{equation}
		X_n(x) = \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \quad \lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2, \quad n=1,2,3,...
	\end{equation}
	
	\subsection{时间方程求解}
	对应每个本征值 $\lambda_n$，时间方程为：
	
	\begin{equation}
		T''_n(t) + c^2 \lambda_n T_n(t) = 0
	\end{equation}
	
	解为：
	
	\begin{equation}
		T_n(t) = A_n \cos\left(\frac{cn\pi t}{L}\right) + B_n \sin\left(\frac{cn\pi t}{L}\right)
	\end{equation}
	
	\section{通解构造}
	欧拉将特解叠加得到一般解：
	
	\begin{equation}
		u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ A_n \cos\left(\frac{cn\pi t}{L}\right) + B_n \sin\left(\frac{cn\pi t}{L}\right) \right] \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)
		\label{eq:general}
	\end{equation}
	
	通过初始条件确定系数 $A_n$ 和 $B_n$：
	
	\begin{align}
		A_n &= \frac{2}{L} \int_0^L u(x,0) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx \\
		B_n &= \frac{2}{cn\pi} \int_0^L u_t(x,0) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx
	\end{align}
	
	\section{历史意义}
	欧拉的解法具有三个重要创新：
	
	\begin{enumerate}
		\item 首次系统应用分离变量法解偏微分方程
		\item 明确使用正弦函数作为本征函数
		\item 提出通过初始条件确定级数系数的方法
	\end{enumerate}
	
	尽管达朗贝尔更早提出波动方程，但欧拉的解法更具普遍性，直接启发了后来的傅里叶级数理论。
	
	\section{数值示例}
	考虑初始位移为抛物线形的特例：
	
	\begin{equation}
		u(x,0) = x(L-x), \quad u_t(x,0) = 0
	\end{equation}
	
	代入欧拉公式得系数：
	
	\begin{equation}
		A_n = \begin{cases}
			\frac{8L^2}{(n\pi)^3}, & n \text{为奇数} \\
			0, & n \text{为偶数}
		\end{cases}, \quad B_n = 0
	\end{equation}
	
	解为：
	
	\begin{equation}
		u(x,t) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{8L^2}{((2k+1)\pi)^3} \cos\left(\frac{c(2k+1)\pi t}{L}\right) \sin\left(\frac{(2k+1)\pi x}{L}\right)
	\end{equation}
	
	\begin{figure}[H]
		\centering
%		\includegraphics[width=0.8\textwidth]{string_vibration.png}
		\caption{弦振动前三个模态的图示}
		\label{fig:modes}
	\end{figure}
	
	\section{结论}
	欧拉1750年的工作建立了求解偏微分方程的经典范式，其方法的核心——分离变量和本征函数展开——至今仍是数学物理的基本工具。这项研究不仅解决了振动弦问题，更为后来的Sturm-Liouville理论和傅里叶分析奠定了基础。
	
	\bibliographystyle{plain}
	\bibliography{references}
	
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{Euler1750} 
		Euler, L. (1750). "De motu vibratorio tympanorum". \textit{Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae}, 1: 1-21.
		
		\bibitem{Cannon1984}
		Cannon, J.T., Dostrovsky, S. (1984). \textit{The Evolution of Dynamics: Vibration Theory from 1687 to 1742}. Springer.
		
		\bibitem{Grattan2002}
		Grattan-Guinness, I. (2002). \textit{The Rainbow of Mathematics}. W.W. Norton.
	\end{thebibliography}
	